Question

【题目】已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点

（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；

（2）是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）曲线是椭圆，它的标准方程为；（2）存在点满足题意

【解析】

（1）先设动点坐标为，根据题意列出等式，化简整理即可求出结果；

（2）分情况讨论如下：当直线与轴垂直时，易得点必在轴上.；当直线与轴垂直时，易得点的坐标只可能是；再证明直线斜率存在且时均有即可.

（1）设动点坐标为

点到直线的距离为．依题意可知

则

化简得

所以曲线是椭圆，它的标准方程为

（2）①当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，又因为,则

从而点必在轴上.

②当直线与轴垂直时，则，由①可设，

由得，解得（舍去），或．

则点的坐标只可能是．

下面只需证明直线斜率存在且时均有即可.

设直线的方程为，代入得.

设

所以

设点关于轴对称的点坐标

因为直线的斜率

同理得直线的斜率

，三点共线.

故.

所以存在点满足题意．