Question

当x∈[0，3]时，m≤

1

3

x³-4x+4恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：设f（x）=

1

3

x³-4x+4，当x∈[0，3]时，m≤

1

3

x³-4x+4恒成立，等价于m≤f（x）_min，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：设f（x）=

1

3

x³-4x+4，
则f′（x）=x²-4，
由f′（x）=0，得x=2，或x=-2（舍），
又f（0）=4，f（2）=-

4

3

，f（3）=1，
∴x∈[0，3]时，f（x）_min=f（2）=-

4

3

，
∵当x∈[0，3]时，m≤

1

3

x³-4x+4恒成立，
∴m≤f（x）_min=f（2）=-

4

3

，
∴实数m的取值范围是（-∞，-

4

3

]．
故答案为：（-∞，-

4

3

]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．