【题目】已知等差数列的前
项的和为
,公差
,若
,
,
成等比数列,
;数列
满足:对于任意的
,等式
都成立.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:数列是等比数列;
(3)若数列满足
,试问是否存在正整数
,
(其中
),使
,
,
成等比数列.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)存在
【解析】
(1)将已知条件转化为的形式列方程组,解方程组求得
,由此求得数列
的通项公式.
(2)根据递推关系式进行作差变形,求得
,由此证得数列
是等比数列.
(3)根据,
,
成等比数列,则
,
,
成等差数列,由(2)求得
,由此求得
,
,根据
单调递减,对
进行分类讨论,由此求得
的值.
(1)设数列公差为
,由题设得
.
即,解得
.
∴数列的通项公式为:
.
(2)∵
∴,①
∴,②
由得,
③
∴,④
由得
,由①知
,
,∴
.
又,∴数列
是等比数列.
(3)假设存在正整数,
(其中
),使
,
,
成等比数列,则
,
,
成等差数列.
由(2)可知:,∴
.
于是,.
由于,所以
因为当时,
,即
单调递减,
所以当时,
,不符合条件,
所以或
,
又,所以
,所以
当时,得
,无解,
当时,得
,所以
,
综上:存在唯一正整数数组,使
,
,
成等比数列.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知命题表示双曲线,命题
表示椭圆.
⑴若命题为真命题,求实数
的取值范围.
⑵判断命题为真命题是命题
为真命题的什么条件(请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和 “既不充分也不必要条件”中的哪一个).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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【题目】某班随机抽查了名学生的数学成绩,分数制成如图的茎叶图,其中
组学生每天学习数学时间不足
个小时,
组学生每天学习数学时间达到一个小时,学校规定
分及
分以上记为优秀,
分及
分以上记为达标,
分以下记为未达标.
(1)根据茎叶图完成下面的列联表:
达标 | 未达标 | 总计 | |
| |||
| |||
总计 |
(2)判断是否有的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关.
参考公式与临界值表:,其中
.
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【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,第四日行二十四,几朝才得到其关,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,其中第四天走了24里.”问此人( )天后到达目的地.
A.4B.5C.6D.8
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【题目】如图所示,三棱柱的侧面
是圆柱的轴截面,C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点。
(1)若圆柱的轴截面是正方形,当点C是弧AB的中点时,求异面直线与AB的所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)当点C是弧AB的中点时,求四棱锥体积与圆柱体积的比.
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【题目】已知函数,其导函数设为
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数有两个极值点
,
,试用
表示
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若的极值点恰为
的零点,试求
,
这两个函数的所有极值之和的取值范围.
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