Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

．
（Ⅰ）求证tanB=3tanA；
（Ⅱ）若a²+b²-c²=

2 5

5

ab，求角A的大小．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）记AB=c，AC=b，BC=a由已知

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

，可得bccosA=3cacosB由正弦定理化简得tanB=3tanA；
（Ⅱ）由余弦定理和已知得：cosC=

5

5

，即可求出1+tan²C=5解得tanC=2（tanC=-2舍去）结合（Ⅰ）即可求得角A的大小．

解答： 解（Ⅰ）记AB=c，AC=b，BC=a
∵

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

．
∴bccosA=3cacosB
∴bcosA=3acosB
由正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB
∴

sinB

cosB

=3

sinA

cosA

∴tanB=3tanA．
（Ⅱ）∵a2+b2-c2=

2 5

5

ab
 由余弦定理得：cosC=

5

5

∴1+tan²C=5
∴tanC=2（tanC=-2舍去）
tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=

tanA+tanB

tanAtanB-1

=2
解得：tanA=-

1

3

（舍去），或tanA=1
∴A=

π

4

．

点评：本题主要考察了余弦定理的应用，平面向量数量积的运算，考察了计算能力，属于中档题．