Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+a_n=

3

4

+

n-2

2n(n+1)(n+2)

（n∈N^*），且b_n=a_n+

1

n(n+1)(n+2)

．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列，并通项公式b_n；
（2）设c_n=na_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2a_n+1-a_n=

n(n-1)

2n(n+1)(n+2)(n+3)

-

(n-2)(n+3)

2n(n+1)(n+2)(n+3)

=-

n-3

n(n+1)(n+2)(n+3)

，从而b_n+1-2b_n=a_n+1-2a_n+

2

(n+1)(n+2)(n+3)

-

1

n(n+1)(n+2)

，进而bn+1=

1

2

bn，由此能证明数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，从而b_n=

1

2n

．
（2）由an=bn-

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2n

-

1

n(n+1)(n+2)

，得c_n=na_n=

n

2n

-

1

(n+1)(n+2)

，由此利用分组求和法、错位相减法、裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+a_n=

3

4

+

n-2

2n(n+1)(n+2)

，
∴Sn+1+an+1=

3

4

+

n-1

2(n+1)(n+2)(n+3)

，
两式作差得2a_n+1-a_n=

n(n-1)

2n(n+1)(n+2)(n+3)

-

(n-2)(n+3)

2n(n+1)(n+2)(n+3)

=

-2n+6

2n(n+1)(n+2)(n+3)

=-

n-3

n(n+1)(n+2)(n+3)

，（3分）
又b_n=an+

1

n(n+1)(n+2)

，则bn+1=an+1+

1

(n+1)(n+2)(n+3)

，
∴b_n+1-2b_n=a_n+1-2a_n+

2

(n+1)(n+2)(n+3)

-

1

n(n+1)(n+2)

，
整理得bn+1=

1

2

bn，
又b1=a1+

1

6

=

1

3

+

1

6

=

1

2

，
故数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴b_n=

1

2n

．（6分）
（2）解：由（1）可得an=bn-

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2n

-

1

n(n+1)(n+2)

，
∴c_n=na_n=

n

2n

-

1

(n+1)(n+2)

，（7分）
故T_n=(

1

2

+

2

4

+

3

8

+…+

n

2n

)-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

]，
设F_n=

1

2

+

2

4

+

3

8

+…+

n

2n

，
则

1

2

Fn=

1

4

+

2

8

+

3

16

+…+

n

2n+1

，
作差得

1

2

Fn=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

-

n

2n+1

，
∴F_n=2-

n+2

2n

．（9分）
设G_n=

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

，
则G_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，（11分）
故T_n=2-

n+2

2n

-（

1

2

-

1

n+2

）=

3

2

-

n+2

2n

+

1

n+2

．（12）

点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法、错位相减法、裂项求和法的合理运用．