Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n（1+log₂a_n），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列通项公式和等差中项性质，列出方程组，求出首项和公比，再由{a_n}是递增数列，求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n（1+log₂a_n）=2n(1+log22n)=（1+n）•2ⁿ，利用错位相减法能求出Tn=n.2n+1．

解答： 解：（1）∵递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴

a1q+a1q2+a1q3=28 a1q+a1q3=2(a1q2+2)

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

，
∵{a_n}是递增数列，∴a₁=2，q=2
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n（1+log₂a_n）=2n(1+log22n)=（1+n）•2ⁿ，
∴T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（1+n）•2ⁿ，①
2T_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（1+n）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=4+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（1+n）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(1+n)•2n+1
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n.2n+1．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用．