Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上的一个点P（x，y），求u=2x+y的最值．

Answer 1

分析 利用椭圆方程，设出椭圆的参数方程，通过两角和的三角函数求和表达式的最值即可．

解答 解：设椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，0≤θ≤2π）
∴u=2x+y=4cosθ+sinθ=$\sqrt{17}$（$\frac{4}{\sqrt{17}}cosθ+\frac{1}{\sqrt{17}}sinθ$）=$\sqrt{17}$sin（θ+φ），（其中tanφ=4）
∵-1≤sin（θ+φ）≤1
∴-$\sqrt{17}$≤$\sqrt{17}$sin（θ+φ）≤$\sqrt{17}$．
即u=2x+y的最大值是$\sqrt{17}$，最小值是-$\sqrt{17}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，参数方程的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．