Question

已知函数f（x）=

px+3

x2+2

（其中p为常数，x∈[-2，2]）为偶函数．
（1）求p的值； （2）如果f（1-m）＜f（2m），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于函数f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），即

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=

3

x2+2

，可得函数f（x）在[0，2]上为减函数，在[-2，0]上为增函数．由于f（1-m）＜f（2m），可得2≥|1-m|＞|2m|≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，化为px=0，解得p=0．
（2）由（1）可得：f（x）=

3

x2+2

，
∴函数f（x）在[0，2]上为减函数，在[-2，0]上为增函数．
∵f（1-m）＜f（2m），
∴2≥|1-m|＞|2m|≥0，
解得-1＜m＜

1

3

．
∴实数m的取值范围是(-1，

1

3

)．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．