Question

9．某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率$\frac{4}{5}$，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{6}{125}$	x	y	$\frac{24}{125}$

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用A_i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P（A₁）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=$\frac{6}{125}$，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p，q的值．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．

解答 解：用A_i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．
由题意得得P（A₁）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=$\frac{6}{125}$，
（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1-P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=1-$\frac{6}{125}$=$\frac{119}{125}$
P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=（1-P（A₁））（1-P（A₂））（1-P（A3））=$\frac{1}{5}$（1-p）（1-q）=$\frac{6}{125}$
及P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{4}{5}$pq=$\frac{24}{125}$得p=$\frac{2}{5}$，q=$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，
P（ξ=1）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{37}{125}$，P（ξ=2）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{58}{125}$，

ξ	0	1	2	3
pi	$\frac{6}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{58}{125}$	$\frac{24}{125}$

∴E（ξ）=0×$\frac{6}{125}$+1×$\frac{37}{125}$+2×$\frac{58}{125}$+3×$\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．