Question

17．已知x，y满足x²+y²=4，分别求x+$\sqrt{3}$y与xy的取值范围．

Answer 1

分析 三角换元可得x=2cosθ，y=2sinθ，由三角函数的知识易得要求的范围．

解答 解：∵x，y满足x²+y²=4，
∴x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π），
∴x+$\sqrt{3}$y=2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ
=4（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）=4sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴x+$\sqrt{3}$y的取值范围为[-4，4]，
同理可得xy=2cosθ•2sinθ=2sin2θ
∴xy的取值范围为[-2，2]

点评 本题考查不等式的应用，涉及三角换元和三角函数的知识，属基础题．