Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足（2b-$\sqrt{3}$c）cosA=$\sqrt{3}$acosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=4，三角形的面积S=6，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB，由sinB＞0，从而可求cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A的范围即可得解．
（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求c，由余弦定理即可解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理可得：2sinBcosA=$\sqrt{3}$（sinCcosA+sinAcosC），
得：2sinBcosA=$\sqrt{3}$sin（A+C），
即：2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinB，
因为0＜B＜π，所以sinB＞0，
从而cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜A＜π，
所以A=$\frac{π}{6}$…6分
（Ⅱ）由b=4，S=6=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×c×\frac{1}{2}$，解得：c=6．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=4²+6²-2×$4×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=52-24$\sqrt{3}$，
可解得：a=2$\sqrt{13-6\sqrt{3}}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．