Question

2．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+1）
（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（Ⅱ）求证当x≥0时，f（x）g（x）≥x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论h′（x）的情况，从而求出h（x）的单调性；
（Ⅱ）令p（x）=f（x）•g（x）-x，求出函数p（x）的导数，通过讨论p′（x）的情况，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）易知h（x）的定义域为（-1，+∞），h′（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，
令φ（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$，则φ′（x）=e^x+$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
∵当x＞-1时，φ′（x）＞0，
∴函数φ（x）在区间（-1，+∞）上为增函数，
∴当-1＜x≤0时，φ（x）≤φ（0）=0，即h′（x）≤0，
当x＞0时，φ（x）＞φ（0）=0，即h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（-1，0）上为减函数，在区间（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）令p（x）=f（x）•g（x）-x，则p（x）=e^xln（x+1）-x，
p′（x）=e^xln（x+1）+$\frac{{e}^{x}}{x+1}$-1，
令s（x）=e^xln（x+1）+$\frac{{e}^{x}}{x+1}$-1，
则s′（x）=e^x$[ln（x+1）+\frac{2x+1}{{（x+1）}^{2}}]$，
∴当x≥0时，e^x＞0，x+1≥1，
∴ln（x+1）≥0，$\frac{2x+1}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
∴s′（x）≥0，∴函数s（x）在区间（0，+∞）为增函数，
∴当x≥0时，s（x）≥s（0）=0，∴p′（x）≥0，
∴函数p（x）在区间[0，+∞）上是增函数，
∴当x≥0时，p（x）≥p（0）=0，
即当x≥0时，f（x）•g（x）≥x成立．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，求出函数的导数，讨论关于导函数的不等式是解答问题的关键，本题是一道中档题．