Question

12．如图所示，P、Q为△ABC内的两点，且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{AP}$-$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 分别设出$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$，进而根据四边形法则确定三角形ABP和三角形ABC，以及三角形ABQ和三角形APQ的比例关系，进而求得答案．

解答 解：
设$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$
则 $\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{AN}$
由平行四边形法则知NP∥AB        
所以 $\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ABC}}$$\frac{|\overrightarrow{AN|}}{|\overrightarrow{AC|}}$$\frac{1}{5}$，
同理 $\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$
故 $\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ABQ}}$=$\frac{4}{5}$，
故选C．

点评 本题主要考查了平面向量的应用．用向量解决几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等，把运算结果“翻译”成几何关系．