Question

1．已知数列{a_n}是各项均为正数且公差为d的等差数列，其前n项和为S_n，首项为a₁．
（1）当a₁=1，d=2时，证明：{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列；
（2）求证：数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列的充要条件是d=2a₁．

Answer 1

分析 （1）当a₁=1，d=2时，根据等差数列的定义即可证明{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列；
（2）根据等差数列的定义以及充分条件和必要条件的定义进行证明即可．

解答 证明：（1）当a₁=1，d=2时，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{n}^{2}}=n$----------------------（2分）
则$\sqrt{{S}_{n+1}}$-$\sqrt{{S}_{n}}$=n+1-n=1（常数）
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列----------------------（4分）
（2）①充分性：若d=2a₁，则$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{n}^{2}{a}_{1}}$=$n\sqrt{{a}_{1}}$----------------------（6分）
$\sqrt{{S}_{n+1}}$-$\sqrt{{S}_{n}}$=（n+1）$\sqrt{{a}_{1}}$-n$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$（常数）
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列----------------------（8分）
②必要性：若{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列，则2$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{3}}$，
即2$\sqrt{2{a}_{1}+d}=\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{3{a}_{1}+3d}$----------------------（10分）
两边平方，整理得$4{a}_{1}+d=2\sqrt{{a}_{1}（3{a}_{1}+3d）}$，
两边再平方，整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，
即（2a₁-d）²=0，
∴2a₁-d=0，d=2a₁----------------------（15分）
综上，数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}为等差数列的充要条件是d=2a₁----------------------（16分）

点评 本题主要考查等差数列的定义以及充分条件和必要条件的应用，利用定义法是解决本题的关键．