Question

有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内（结果用数字表示）．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？

Answer 1

考点：排列、组合及简单计数问题

专题：计算题,应用题,排列组合

分析：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，即可得到；
（2）先从四个盒子中任意拿出去1个，再将4个球分成2，1，1的三组，然后再排，运用分步乘法计数原理，即可；
（3）“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事，即可得到；
（4）先从四个盒子中任意拿走两个，问题即为：4个球，放入两个盒子中，每个不空，有几种排法？从放球数目看，可分两类（3，1），（2，2）．分别求出种数，由两个计数原理，即可得到．

解答： 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，
由分步乘法计数原理，放法共有：4⁴=256种．                       
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，
再将4个球分成2，1，1的三组，有

C

2 4

种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，
其余两个球放两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，共有放法：

C

1 4

•C

2 4

•

C

1 3

•

A

2 2

=144种．          
（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．
因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．
（4）先从四个盒子中任意拿走两个有

C

2 4

种，然后问题转化为：4个球，放入两个盒子中，每个不空，有几种排法？从放球数目看，可分两类（3，1），（2，2）．
第一类，可从4个球选3个，然后放入一个盒子中，即可，有

C

3 4

•

C

1 2

种；
第二类，有

C

2 4

种，共有

C

3 4

•

C

1 2

+

C

2 4

=14种，
由分步计数原理得，恰有两个盒不放球，共有6×14=84放法．

点评：本题考查排列组合应用题，考查两个计数原理的运用，注意做到不重不漏，同时考查运算能力，属于中档题．