Question

设a＞0，a²-2ab+c²=0，bc＞a²，请比较a，b，c的大小．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：由bc＞a²，可知b与c同号．由a＞0，a²-2ab+c²=0，可知此方程由两个正根x₁，x₂，因此x₁+x₂=2b＞0，△=4b²-4c²≥0，b≥c＞0．若b=c得出矛盾，于是b＞c．因此b²＞bc＞a²，b＞a．再利用a²-2ab+c²=0，a＞0，可得(

c

a

)2=2(

b

a

)-1＞2-1=1，于是c＞a．

解答： 解：∵bc＞a²，∴b与c同号．
又a＞0，a²-2ab+c²=0，∴此方程由两个正根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2b＞0，
则△=4b²-4c²≥0，b≥c＞0．
若b=c．则a=b=c，与bc＞a²矛盾．
∴b＞c．
∴b²＞bc＞a²，
∴b＞a．
由a²-2ab+c²=0，a＞0，
∴1-2•

b

a

+(

c

a

)2=0，
∴(

c

a

)2=2(

b

a

)-1＞2-1=1，
∴c＞a．
综上可得b＞c＞a

点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．