Question

已知直线L：

x=2+tcosα y=1+ysinα

（t为参数，α为直线的倾斜角）交椭圆

x2

16

+

y2

4

=1于A、B两点，若点M（2，1）恰好为线段AB的中点，求直线L的斜率．

Answer 1

考点：直线的参数方程,椭圆的简单性质

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：直线L：

x=2+tcosα y=1+tsinα

代入椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，利用参数的几何意义，结合点M（2，1）恰好为线段AB的中点，即可求直线L的斜率．

解答： 解：直线L：

x=2+tcosα y=1+tsinα

代入椭圆

x2

16

+

y2

4

=1得（3sin²α+1）t²+4（cosα+2sinα）t-8=0，
则|AM|=|t₁|，|MB|=|t₂|，
∵M在椭圆内，
∴t₁+t₂=-

4(cosα+2sinα)

3sin2α+1

∵点M（2，1）恰好为线段AB的中点，
∴t₁+t₂=0，
∴cosα+2sinα=0，
∴k=tanα=-

1

2

点评：本题考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答的关键是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．