Question

点A、B、C都在圆x²+y²=1上，A和B的横坐标分别是1和

3

5

，BC∥OA，记∠AOB=α，∠BOC=β．
（1）求

OB

•

OC

的值；
（2）求sin（α+2β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,任意角的三角函数的定义

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）根据点A、B、C都在圆x²+y²=1上，A和B的横坐标分别是1和

3

5

，BC∥OA，可以求出A、B、C的坐标，因此可出得出向量

OB

与向量

OC

的坐标，然后利用向量内积运算的坐标公式求出

OB

•

OC

的值；
（2）利用两角和的正弦公式展开，然后利用倍角公式化成单角形式，结合第（1）问和图形求出sinα，sinβ，cosα，cosβ代入即可求出sin（α+2β）的值．

解答： 解：（1）假设B在第一象限，则B（

3

5

，

4

5

），
∵BC∥OA，
∴向量

BC

与向量

OA

共线，所以C=（-

3

5

，

4

5

），
∴向量

OB

=（

3

5

，

4

5

），向量

OC

=（-

3

5

，

4

5

），
∴

OB

•

OC

=

3

5

×(-

3

5

)+

4

5

×

4

5

=

7

5

．
 （2）sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β
=sinα（1-2sin²β）+2cosαsinβcosβ
由（1）知：tan∠OAB=2，
所以sin∠OAB=

2 5

5

，所以sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

，
sinβ=

24

25

，cosβ=

7

25

，
所以sin（α+2β）=-

718 5

3125

．

点评：本题考查了向量的内积运算、两角和的正弦公式及倍角公式，解题的关键是结合图形计算三角函数值．