Question

13．已知如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC，且AB⊥AC，M是面CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上．
（Ⅰ）若P为A₁B₁中点，求证：NP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）证明：PN⊥AM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出NP∥平面ACC₁A₁．
（2）求出$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），$\overrightarrow{PN}$=（0，1，-2），利用向量法能证明PN⊥AM．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA₁=AC=2，AB=2a，
则B（2a，0，0），C（0，2，0），N（a，1，0），P（a，0，2），
$\overrightarrow{NP}$=（0，-1，2），平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{n}$=0，
∵NP?平面ACC₁A₁，∴NP∥平面ACC₁A₁．
（2）M（0，2，1），$\overrightarrow{AM}$=（0，2，1），
又$\overrightarrow{PN}$=（0，1，-2），
∴$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{AM}$=0+2-2=0，
∴$\overrightarrow{PN}$⊥$\overrightarrow{AM}$，
∴PN⊥AM．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．