Question

1．已知连续不断函数f（x）=sinx+x-$\frac{π}{4}$（0＜x＜$\frac{π}{2}$），g（x）=cosx-x+$\frac{π}{4}$（0＜x＜$\frac{π}{2}$）．
（1）求证：函数f（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一个零点；
（2）现已知函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一个零点（不必证明），记f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上的零点分别为x₁，x₂，求证：x₁+x₂=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可判断f（0）=-$\frac{π}{4}$＜0，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，再判断函数的单调性，从而证明．
（2）化简可得cos（$\frac{π}{2}$-x₁）-（$\frac{π}{2}$-x₁）+$\frac{π}{4}$=0，从而证明．

解答 证明：（1）∵f（0）=-$\frac{π}{4}$＜0，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
∴f（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上有一个零点；
又∵f（x）=sinx+x-$\frac{π}{4}$在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一个零点；
（2）∵f（x）在区间（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一个零点x₁，
∴f（x₁）=sinx₁+x₁-$\frac{π}{4}$=0，
即cos（$\frac{π}{2}$-x₁）-（$\frac{π}{2}$-x₁）+$\frac{π}{4}$=0，
又∵函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上有且只有一个零点x₂，
∴$\frac{π}{2}$-x₁=x₂，
即x₁+x₂=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了函数的零点的判定定理的应用及函数的性质的判断与应用．