Question

14．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（1）证明：OE∥平面AB₁C₁；
（2）证明：AB₁⊥A₁C；
（3）设P是棱CC₁ 的中点，求P到侧面ABB₁A的距离．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得出OE∥AC₁，故而OE∥平面AB₁C₁；
（2）通过证明A₁C⊥平面AB₁C₁得出AB₁⊥A₁C；
（3）利用等体积得出C₁到平面AA₁B₁的距离d，即可得出P到侧面ABB₁A的距离．

解答 证明：（1）∵点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，
∴OE∥AC₁，
又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴OE∥平面AB₁C₁，
（2）∵AO⊥平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AO⊥B₁C₁，
又∵A₁C₁⊥B₁C₁，A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，又A₁C?平面A₁C₁CA，
∴A₁C⊥B₁C₁．
∵AA₁=AC，∴四边形A₁C₁CA为棱形，
∴A₁C⊥AC₁，又B₁C₁∩AC₁=C₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，又AB₁?平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C．
（3）解：由题意，P到侧面ABB₁A的距离等于点C₁到平面AA₁B₁的距离．
∵∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2，
∴A₁O=$\frac{1}{2}$A₁C₁=1，AC₁=2，
∴AO=$\sqrt{3}$，A₁B₁=2$\sqrt{2}$，AB₁=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，${S}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$
∴${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，则$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{7}$×d，即d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴P到侧面ABB₁A的距离等于$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，空间距离的计算，属于中档题．