Question

如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为（　　）

• A、1
• B、

  2

  4

• C、

  6

  2

• D、

  10

  4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F．由于E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为1，可得OF=EF=

1

2

．OE=

2

2

．在平面CED内建立直角坐标系．设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．可得C(

2

2

，1)，代入解出即可．

解答： 解：如图所示，
过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为1，
∴OF=EF=

1

2

．
∴OE=

2

2

．
在平面CED内建立直角坐标系．
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．
C(

2

2

，1)，
∴1=2×

2

2

P，解得p=

2

2

．
F(

2

4

，0)．
即点F为OE的中点，
∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为

( 2 2 )2+( 2 4 )2

=

10

4

，
故选：D．

点评：本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．