Question

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足

|x-1|≤2 x+3 x-2 ＞0

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）先通过解不等式及不等式组求出命题p，q，并代入a=1得到命题p：1＜x＜3，命题q：2＜x≤3，而p∧q为真，所以求出p真q真时x的取值范围，再求交集即可；
（2）先写出￢p：x≤a，或x≥3a，a＞0，￢q：x≤2，或x＞3，而根据￢p是￢q的充分不必要条件可得

a≤2 3a＞3

，解该不等式组即得a的取值范围．

解答： 解：（1）解x²-4ax+3a²＜0，a＞0，得：a＜x＜3a；
∴命题p：a＜x＜3a，a＞0；
命题q：2＜x≤3；
∴a=1时，命题p：1＜x＜3，p∧q为真；
∴p真q真；
∴

1＜x＜3 2＜x≤3

；
∴2＜x＜3；
∴实数x的取值范围为（2，3）；
（2）￢p：x≤a，或x≥3a，a＞0；
￢q：x≤2，或x＞3；
∴若￢p是￢q的充分不必要条件，则：

a≤2 3a＞3

；
∴1＜a≤2；
∴实数a的取值范围为（1，2]．

点评：考查一元二次不等式的解法，含绝对值不等式、分式不等式的解法，以及p∧q真假和p，q真假的关系，由p，q能写出￢p，￢q，充分不必要条件的概念．