Question

5．已知：a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为5．
（1）求a+b+c的值；
（2）求$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{5}$c²的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．

解答 解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=5；
（2）由（1）知a+b+c=5，由柯西不等式得，
（$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{5}$c²）（3+4+5）≥（$\frac{a}{\sqrt{3}}$×$\sqrt{3}$+$\frac{b}{2}×2$+$\frac{c}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}$）²=（a+b+c）²=25，
即$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{5}$c²≥$\frac{25}{12}$，当且仅当$\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{b}{2}}{2}=\frac{\frac{c}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$，a+b+c=5，即a=$\frac{5}{4}$，b=$\frac{5}{3}$，c=$\frac{25}{12}$时，等号成立．
所以$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{4}$b²+$\frac{1}{5}$c²的最小值为：$\frac{25}{12}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．