Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a+c=1+

3

，b=1，sinC=

3

sinA
（1）求角B；
（2）设f（x）=2sin（2x+B）+4cos²x求函数y=f（x）在区间[0，

π

2

]的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦定理，可求a，c，利用余弦定理，可求B；
（2）先化简函数，再利用三角函数的性质，即可求解．

解答： 解：（1）∵sinC=

3

sinA，
∴由正弦定理可得c=

3

a，
∵a+c=1+

3

，
∴a=1，c=

3

，
∵b=1，
∴由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1+3-1

2•1• 3

=

3

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

6

；
（2）f（x）=2sin（2x+B）+4cos²x=2sin（2x+

π

6

）+4cos²x=

3

sin2x+3cos2x+2=2

3

sin（2x+

π

3

）+2．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

，1]，
∴2

3

sin（2x+

π

3

）+2∈[-4，2

3

+2]．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．