Question

如图，CF是△ABC边AB上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC．
（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；
（2）若CQ=4，AQ=1，PF=

4 5

3

，求CB的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）证明∠QCF=∠QPF，利用同角的余角相等，可得∠A=∠CPQ，从而可得：四点A、B、P、Q共圆；
（2）根据根据射影定理可得：在Rt△CFA中，CF²=CQ•CA，进而可求出CF长，利用勾股定理，解Rt△CFP，可求出CP，再在Rt△CFB中使用射影定理，可得答案．

解答： 证明：（1）连接QP，由已知C、P、F、Q四点共圆，
∴∠QCF=∠QPF，
∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°，
∴∠A=∠CPQ，
∴四点A、B、P、Q共圆．…（5分）
解：（2）∵CQ=4，AQ=1，PF=

4 5

3

，
根据射影定理可得：在Rt△CFA中，
CF²=CQ•CA=4×（4+1）=20，
在Rt△CFP中，CP=

CF2-PF2

=

10

3

，
在Rt△CFB中，
CF²=CP•CB，
∴CB=6…（10分）

点评：本题考查的知识点是圆内接四边形的证明，射影定理，难度不大，属于基础题．