Question

12．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则$\frac{2b+3a}{ab}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{25}{6}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{11}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由约束条件作差可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得2a+3b=6，然后利用基本不等式求$\frac{2b+3a}{ab}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作差可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（4，6），
化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4a+6b=12．
则2a+3b=6．
∴$\frac{2b+3a}{ab}$=$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）（$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$）=$\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$≥\frac{13}{6}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=$\frac{13}{6}+\frac{12}{6}=\frac{25}{6}$．
当且仅当a=b时上式等号成立．
∴$\frac{2b+3a}{ab}$的最小值为$\frac{25}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．