Question

已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a²+b²＜c²，且sin（2C-

π

2

）=

1

2

（I）求角C的大小；
（Ⅱ）求

a+b

c

的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（I）根据余弦定理判断出C的范围，然后根据sin（2C-

π

2

）=

1

2

利用诱导公式求出C；
（Ⅱ）根据正弦定理化简

a+b

c

=

2

3

sin(A+

π

3

)，利用正弦函数的单调性即可判断其范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²+b²＜c²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，
∴

π

2

＜C＜π，
故π＜2C＜2π
由sin(2C-

π

2

)=

1

2

，
得cos2C=-

1

2

，
∴2C=

4π

3

，
即C=

2π

3

；
（Ⅱ）

a+b

c

=

sinA+sinB

sinC

=

sinA+sin( π 3 -A)

sin 2π 3

=

1 2 sinA+ 3 2 cosA

3 2

=

2

3

sin(A+

π

3

)
由C=

2π

3

，
知0＜A＜

π

3

，
故

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1
∴

2

3

•

3

2

＜

a+b

c

≤

2

3

，
即1＜

a+b

c

≤

2

3

3

．

点评：本题主要考查三角形内角和定理，正弦定理和余弦定理的灵活应用，以及正弦函数的单调性．属于中档题