Question

已知点（

5π

12

，2）在函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜

π

2

）的图象上，直线x=x₁、x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求函数f（x）的单递增区间和其图象的对称中心坐标；
（2）设A={x|

π

4

≤x≤

π

2

}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）通过|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，推出函数的周期，求出ω，利用函数图象经过的特殊点求出初相，得到函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单递增区间，求解对称中心坐标；
（2）利用A={x|

π

4

≤x≤

π

2

}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，列出关系式得到不等式组，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，
∴周期T=π=

2π

ω

⇒ω=2，
又图象经过点（

5π

12

，2），
∴2sin（

5π

6

+φ）=2⇒φ=2kπ-

π

3

，k∈Z．
∵|φ|＜

π

2

∴φ=-

π

3

．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．…3分．
-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，k∈Z为此函数的单调递增区间．    …5分
对称中心为点（

π

6

+

1

2

kπ，0），k∈Z．            …7分
（2）∵A⊆B，
∴当

π

4

≤x≤

π

2

时|f（x）-m|＜1恒成立
即m-1＜f（x）＜m+1恒成立
即

f(x)max＜1+m f(x)min＞m-1

，
∵f（x）∈[1，2]，
∴

2＜1+m 1＞m-1

?1＜m＜2． …14分．

点评：考查三角函数的图象与性质，函数的解析式的求法，函数图象的对称性与单调性．涉及知识点较多，综合性较强．