Question

在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∠A为直角，P为AB中点，M、N分别是BC，AC上任一点，则△MNP周长的最小值是

 

．

Answer 1

考点：两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：如图所示．建立直角坐标系．作出点P关于y轴的对称点E，考点|PN|=|EN|．作出点P关于直线BC的对称点F．可得|PM|=|MF|，利用轴对称的性质可得F．于是△MNP周长l=|PN|+|MN|+|PM|=|EN|+|MN|+|MF|．当且仅当四点E，N，M，F在同一条直线上△MNP周长l取得最小值|EF|．再利用两点间的距离公式可得．

解答： 解：如图所示．建立直角坐标系．
作出点P关于y轴的对称点E，则|PN|=|EN|．
∵点P是线段AB的中点，AB=2．
∴P（1，0），
∴E（-1，0）．
作出点P关于直线BC的对称点F，则|PM|=|MF|．
∵|AC|=4，∴C（0，4）．
∴直线BC的方程为

x

2

+

y

4

=1，化为2x+y=4．
设F（m，n），则

n-0 m-1 ×(-2)=-1 1+m 2 ×2+ n+0 2 =4

，解得

m= 13 5 n= 4 5

．
∴F(

13

5

，

4

5

)．
∴△MNP周长l=|PN|+|MN|+|PM|
=|EN|+|MN|+|MF|．
当且仅当四点E，N，M，F在同一条直线上△MNP周长l取得最小值|EF|．
|EF|=

(-1- 13 5 )2+( 4 5 )2

=

2 85

5

．
故答案为：

2 85

5

．

点评：本题考查了轴对称的性质、两点间的距离公式、直线的方程，考查了转化能力和推理能力，属于难题．