Question

若第一象限内的动点P（x，y）满足

1

x

+

1

2y

+

3

2xy

=1，R=xy，则以P为圆心R为半径且面积最小的圆的方程为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：利用基本不等式可得1=

1

x

+

1

2y

+

3

2xy

≥2

1 x • 1 2y

+

3

2xy

，化为(

2xy

)2-2

2xy

-3≥0，

2xy

≥3，
即xy≥

9

2

，当且仅当x=2y=3时取等号．即可得到圆心和半径．

解答： 解：∵x，y＞0，
∴1=

1

x

+

1

2y

+

3

2xy

≥2

1 x • 1 2y

+

3

2xy

，化为(

2xy

)2-2

2xy

-3≥0，当且仅当x=2y=3时取等号．
变为(

2xy

-3)(

2xy

+1)≥0，
解得

2xy

≥3，
即xy≥

9

2

，当且仅当x=2y=3时取等号．
∴圆心为(3，

3

2

)，半径R=xy=

9

2

时，以P为圆心R为半径的圆的面积最小．
此时圆的方程为：(x-3)2+(y-

3

2

)2=

81

4

．的方程为：(x-3)2+(y-

3

2

)2=

81

4

．

点评：本题考查了基本不等式的性质、圆的方程，属于中档题．