Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（2sinβ，2cosβ），且|2k

a

+

b

|=

3

|2

a

-k

b

|（k＞0），设

a

与

b

的夹角为θ．
（1）求cosθ与k的函数关系式；
（2）当θ取最大值时，求α，β满足的关系式．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）依题意，将等式|2k

a

+

b

|=

3

|2

a

-k

b

|（k＞0）两边平方，利用向量的数量积，整理可得k²-4kcosθ+1=0，从而可得cosθ与k的函数关系式；
（2）由（1）知cosθ=

1

4

（k+

1

k

）（k＞0），利用基本不等式可求得cosθ=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

2

，又θ∈[0，π]，可求得θ的最大值，继而可得α，β满足的关系式．

解答： 解：（1）∵|2k

a

+

b

|=

3

|2

a

-k

b

|（k＞0），
∴等式两边平方，
得：4k²

a

2+4k

a

•

b

+

b

2=3（4

a

2-4k

a

•

b

+k²

b

2），
∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（2sinβ，2cosβ），
∴

a

2=1，

b

2=4，又＜

a

，

b

＞=θ，
∴4k²+4k×1×2cosθ+4=12-12k×1×2cosθ+12k²，
整理得，k²-4kcosθ+1=0，
∴cosθ=

1

4

（k+

1

k

）（k＞0）；
（2）由（1）知，k＞0，cosθ=

1

4

（k+

1

k

）≥

1

2

，又θ∈[0，π]，
∴0≤θ≤

π

3

，
∴θ_max=

π

3

，
∴当θ取最大值

π

3

时，

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（

3

，1），
∴

a

•

b

=

1

2

×

3

+

3

2

×1=

3

，
又

a

•

b

=2cosαsinβ+2sinαcosβ=2sin（α+β），
∴2sin（α+β）=

3

，
∴sin（α+β）=

3

2

，
∴α+β=2nπ+

π

3

，或α+β=2nπ+

2π

3

（n∈Z）．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示及夹角，考查基本不等式及两角和的正弦，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．