Question

设直线过定点P（1，2）且与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为原点坐标，求△AOB周长的最小值．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：设出直线在两坐标轴上的截距，再设∠OAB=α，把三角形的三边用α表示，然后利用万能公式化简，换元后由基本不等式求最值．

解答： 解：设三角形三个顶点坐标分别为O（0，0），A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0，
设∠OAB=α，α∈(0，

π

2

)，则：
OA=a=1+

2

tanα

，OB=b=2+tanα，
AB=

2

sinα

+

1

cosα

，
周长=OA+AB+BO=3+

2

tanα

+tanα+

2

sinα

+

1

cosα

=1+2+

2

2tan α 2 1-tan2 α 2

+

2tan α 2

1-tan2 α 2

+

2

2tan α 2 1+tan2 α 2

+

1

1-tan2 α 2 1+tan2 α 2

=2+

2

tan α 2 (1-tan α 2 )

．
令tan

α

2

=x，x∈（0，1），则：
周长=2+

2

x(1-x)

≥2+2•(

2

x+1-x

)2=10．
当且仅当x=1-x，即x=

1

2

时，周长取最小值10．

点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了三角函数的万能公式，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，是中档题．