Question

【题目】在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接，利用中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）由正方形的基本性质得出，由平面得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明出平面，由此可得出；

（3）取的中点，利用中位线的性质结合平面得出平面，计算出和的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.

（1）连接，如下图：

由四边形是正方形可知，点为的中点，

又为的中点，，

平面，平面，平面；

（2）由底面，底面，，

四边形是正方形可知，.

又，、平面，平面.

又平面，；

（3）取中，连接，在四棱锥中，底面，

是的中位线，，底面.

，.

因此，三棱锥的体积．