【题目】已知,数列
的前
项和为
,且
.
(1)求证:数列是等比数列,并求出通项公式;
(2)对于任意(其中
,
,
均为正整数),若
和
的所有乘积
的和记为
,试求
的值;
(3)设,
,若数列
的前
项和为
,是否存在这样的实数
,使得对于所有的
都有
成立,若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析,;(2)1;(3)存在,
.
【解析】
(1)当时,通过
与
作差,进而计算可得结论(2)通过(1)可得Tn的表达式,进而计算即得结论(3)通过(1)可知数列{cn}的通项公式,利用并项相加、分n为奇数、偶数两种情况讨论即可.
(1)∵,
∴当时,
,
两式相减,整理得:,
又∵,即
,
∴数列是首项为1公比为2的等比数列,
∴;
(2)∵
,
∴;
(3)结论:存在这样的实数,使得对于所有的
都有
成立.
理由如下:
由(1)可知,,即
,
,
故,
,
特别地,当为偶数时,有
为奇数,
此时,
①若为偶数,则
,
由可知
对所有正偶数
都成立,故
;
②若为奇数,则
,
由①可知,
由可知
对所有正奇数
都成立,故
;
由①②可得实数的取值范围是:
,
所以存在这样的实数,使得对于所有的
都有
成立.
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【题目】已知等差数列的前
项和为
,并且
,
,数列
满足:
,
,记数列
的前
项和为
.
(1)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(2)求数列的通项公式
及前
项和公式
;
(3)记集合,若
的子集个数为16,求实数
的取值范围.
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【题目】是指大气中直径小于或等于
微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.虽然
只是地球大气成分中含量很少的组分,但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国
标准如下表所示.我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的
监测数据中随机抽取
天的数据作为样本,监测值如茎叶图如图所示.
(Ⅰ)求这天数据的平均值;
(Ⅱ)从这天的数据中任取
天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数
,求
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)以天的
日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按
天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.
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【题目】已知椭圆,圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部,且与C有且仅有两个公共点,直线
与C只有一个公共点.
(1)求C的标准方程;
(2)设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F,直线l与C交于A,B两点,且弦AB的中垂线交x轴于点P,试求的面积的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,侧面
底面
,
,
,
为
的中点,点
在侧棱
上.
(1)求证:;.
(2)若是
的中点,求二面角
的余弦值;
(3)若,当
平面
时,求
的值.
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【题目】在直角坐标系中,圆经过伸缩变换
后得到曲线
.以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程及直线
的直角坐标方程;
(2)设点是
上一动点,求点
到直线
的距离的最大值.
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