【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,侧面
底面
,
,
,
为
的中点,点
在侧棱
上.
(1)求证:;.
(2)若是
的中点,求二面角
的余弦值;
(3)若,当
平面
时,求
的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
.
【解析】分析:(1)先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直,再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直,进而建立空间直角坐标系,利用两直线的方向向量数量积为0进行求解;(2)先求出两平面的法向量,再利用法向量的夹角公式进行证明;(3)利用三点共线设出的坐标,分别求出平面的法向量和直线的方向向量,利用两向量数量积为0进行求解.
详解:(1)取的中点
,连结
,
,
,
∵ , ∴
,
∵ 侧面底面
, 平面
平面
,
∴ 底面
,
∵ 底面是菱形,
,
∴ ,
,
以为原点,分别以
,
,
方向为
轴、
轴、
轴正方向建立空间直角坐标系
,
由题意可得,
,
,
,
,
,
,
,
,
∵ ,∴
.
(2)由题意,,
设平面的一个法向量
,
,
,
由,即
,
令,
,
,所以
,
又平面的一个法向量
,
由,
右图可知,二面角为锐角,所以余弦值为
.
(3)∵ ,
,
易得,
设平面的一个法向量
,
,
,
由,即
,
取,得
,
又,
∵ 平面
,∴
,
即,得
,
所以当时,
平面
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为,观影人数记为
,其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图(2)、图(3)中的实线分别为调整后
与
的函数图象.
给出下列四种说法:
①图(2)对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图(2)对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图(3)对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.(填写所有正确说法的编号)
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【题目】已知,数列
的前
项和为
,且
.
(1)求证:数列是等比数列,并求出通项公式;
(2)对于任意(其中
,
,
均为正整数),若
和
的所有乘积
的和记为
,试求
的值;
(3)设,
,若数列
的前
项和为
,是否存在这样的实数
,使得对于所有的
都有
成立,若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形与
均为菱形,
,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若为线段
上的一点,满足直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
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【题目】已知函数,
(Ⅰ)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M (x0,f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x0, g(x0))处的切线平行,求实数x0的值;
(II)若(0,e],都有f(x)≥g(x)+
,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,已知动直线交圆
于坐标原点
和点
,交直线
于点
;
(1)若,求点
、点
的坐标;
(2)设动点满足
,其轨迹为曲线
,求曲线
的方程
;
(3)请指出曲线的对称性、顶点和图形范围,并说明理由;
(4)判断曲线是否存在渐近线,若存在,请直接写出渐近线方程;若不存在,说明理由.
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