【题目】如图,四边形与
均为菱形,
,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若为线段
上的一点,满足直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)设与
相交于点
,连接
,证明
,
得到答案.
(2)先证明两两垂直,如图所示建立直角坐标系,分别计算法向量,利用夹角公式得到答案.
(3)设,则
,利用夹角公式计算得到答案.
(1)设与
相交于点
,连接
,
∵四边形为菱形,∴
,且
为
中点,∵
,
∴
又,
∴平面
.
(2)连接,∵四边形
为菱形,且
,
∴为等边三角形,∵
为
中点,∴
又,
∴平面
. ∵
两两垂直
∴建立空间直角坐标系,如图所示:
∵四边形为菱形,
,
,∴
.
∵为等边三角形,∴
.
∴,
∴,
设平面的法向量为
,则
令,则
,得
设平面的法向量为
,则
,
令,则
,得
所以
又因为二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为
.
(3)设
则
所以
化简得
解得:或
(舍) 所以
.
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【题目】若动点到定点
与定直线
的距离之和为4.
(1)求点的轨迹方程,并画出方程的曲线草图.
(2)记(1)得到的轨迹为曲线,若曲线
上恰有三对不同的点关于点
对称,求
的取值范围.
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【题目】网购逐步走入百姓生活,网络(电子)支付方面的股票受到一些股民的青睐.某单位4位热爱炒股的好朋友研究后决定购买“生意宝”和“九州通“这两支股票中的一支.他们约定:每人通过掷一枚质地均匀的骰子决定购买哪支股票,掷出点数为5或6的人买“九州通”股票,掷出点数为小于5的人买“生意宝”股票,且必须从“生意宝”和“九州通”这两支股票中选择一支股票购买.
(1)求这4人中恰有1人购买“九州通”股票的機率;
(2)用,
分别表示这4人中购买“生意宝”和“九州通”股票的人数,记
,求随机变量X的分布列与数学期望
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是边长为2的菱形,侧面
底面
,
,
,
为
的中点,点
在侧棱
上.
(1)求证:;.
(2)若是
的中点,求二面角
的余弦值;
(3)若,当
平面
时,求
的值.
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【题目】已知函数.
(1)若在
处取得最大值,求实数
的值;
(2)若,求
在区间
上的最大值;
(3)若,直线
都不是曲线
的切线,求
的取值范围(只需直接写出结果).
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【题目】已知四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形,
= 4且
⊥底面
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 面
;
(Ⅱ)在边上找一点
,使
∥面
,
并求三棱锥的体积.
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