【题目】已知函数.
(1)若在
处取得最大值,求实数
的值;
(2)若,求
在区间
上的最大值;
(3)若,直线
都不是曲线
的切线,求
的取值范围(只需直接写出结果).
【答案】(1);(2)当
或
时,
取得最大值
;当
时,
取得最大值
;当
时,
在
,
处都取得最大值0;当
时,
在
取得最大值
.
(3)
【解析】
(1)求导数,确定函数的单调性,利用在
处取得极大值,可求实数
的值;
(2)分类讨论,确定函数在区间上的单调性,从而可求函数的最大值.
(3)求导数,根据,直线
都不是曲线
的切线,可得
对
成立,即使
的最小值大于
;
解:(1)
令,得
,
所以,
随
的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
因为在
处取得极大值,所以
(2)因为,所以
,
当时,
对
成立,所以当
时,
取得最大值
当时,在
时,
,
单调递增,在
时,
,
单调递减,所以当
时,
取得最大值
当时,在
时,
,
单调递减,所以当
时,
取得最大值
当时,在
时,
,
单调递减,在
时,
,
单调递增,又
,
当时,
在
取得最大值
当时,
在
取得最大值
当时,
在
,
处都取得最大值0.
综上所述,当或
时,
取得最大值
;当
时,
取得最大值
;当
时,
在
,
处都取得最大值0;当
时,
在
取得最大值
.
(3)求导数可得
因为,直线
都不是曲线
的切线,所以
对
成立
所以只要的最小值大于
,所以
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,短轴长为
.
(1)求的方程;
(2)如图,经过椭圆左顶点且斜率为
的直线
与
交于
两点,交
轴于点
,点
为线段
的中点,若点
关于
轴的对称点为
,过点
作
(
为坐标原点)垂直的直线交直线
于点
,且
面积为
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形与
均为菱形,
,且
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若为线段
上的一点,满足直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段
的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中函数
,
.
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)当时,求函数
在
上的最大值;
(3)当时,对于给定的正整数
,问:函数
是否有零点?请说明理由.(参考数据
,
,
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知动直线交圆
于坐标原点
和点
,交直线
于点
;
(1)若,求点
、点
的坐标;
(2)设动点满足
,其轨迹为曲线
,求曲线
的方程
;
(3)请指出曲线的对称性、顶点和图形范围,并说明理由;
(4)判断曲线是否存在渐近线,若存在,请直接写出渐近线方程;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若无穷数列满足:
是正实数,当
时,
,则称
是“
—数列”.
(1)若是“
—数列”且
,写出
的所有可能值;
(2)设是“
—数列”,证明:
是等差数列当且仅当
单调递减;
是等比数列当且仅当
单调递增;
(3)若是“
—数列”且是周期数列(即存在正整数
,使得对任意正整数
,都有
),求集合
的元素个数的所有可能值的个数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设,
为正整数,一个正整数数列
满足
.对
,定义集合
.数列
中的
是集合
中元素的个数.
(1)若数列为5,3,3,2,1,1,写出数列
;
(2)若,
,
为公比为
的等比数列,求
;
(3)对,定义集合
,令
是集合
中元素数的个数.求证:对
,均有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列是无穷数列,满足
.
(1)若,
,求
、
、
的值;
(2)求证:“数列中存在
使得
”是“数列
中有无数多项是
”的充要条件;
(3)求证:在数列中
,使得
.
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