Question

6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且点P（2，1）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上．求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列出关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）利用“点差法”求出A，B所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{6}，b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），直线AB的斜率为k，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，两式作差可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{3}=0$，得$\frac{2{x}_{0}}{6}+\frac{2{y}_{0}}{3}•k=0$，
又直线OP：$y=\frac{1}{2}x$，M在线段OP上，
∴${y}_{0}=\frac{1}{2}{x}_{0}$，解得k=-1．
设直线AB的方程为y=-x+m，m∈（0，3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得3x²-4mx+2m²-6=0，
△=16m²-12（2m²-6）=72-8m²＞0，得-3＜m＜3．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-6}{3}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（-1）^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\frac{4}{3}\sqrt{9-{m}^{2}}$，原点到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}\sqrt{9-{m}^{2}}•\frac{|m|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{（9-{m}^{2}）{m}^{2}}≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当$m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$∈（0，3）时，等号成立．
∴△OAB面积的最大值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．