Question

【题目】已知数列满足：对任意均有（p为常数，且），若，则的所有可能取值的集合是___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

依题意，可得an+1+2＝p（an+2），再对a1＝﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对公比p分|p|＞1与|p|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．

解：∵an+1＝pan+2p﹣2，

∴an+1+2＝p（an+2），

∴①若a1＝﹣2，则a1+1+2＝p（a1+2）＝0，a2＝﹣2，同理可得，a3＝a4＝a5＝﹣2，即a1＝﹣2符合题意；

②若a1≠﹣2，p为不等于0与1的常数，则数列{an+2}是以p为公比的等比数列，

∵ai∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，i＝2，3，4，5，

an+2可以取﹣16，﹣4，8，32，

∴若公比|p|＞1，则p＝﹣2，由a2+2＝﹣4＝﹣2（a1+2）得：a1；

若公比|p|＜1，则p，由a2+2＝32（a1+2）得：a1＝﹣66．

综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，，﹣66．

故答案为：．