Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分

（1）求椭圆C的标准方程

（2）求面积最大值时的直线l的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) y＝

【解析】

（1）由已知可得，，解方程组即可求出椭圆的标准方程.

（2）将代入椭圆方程，利用点差法求出，设出，代入椭圆方程，利用弦长公式，点到直线的距离以及三角形面积公式，求出面积，再利用导数思想求出面积最大值时的值，即可求出直线方程.

（1）由题：，

左焦点到椭圆上点的最远距离为，

即：，可解得：.

∴所求椭圆的方程为：.

（2）易得直线的方程：，设，，

的中点.其中.

∵在椭圆上，

∴

整理得：，

因为，代入求得：.

设直线的方程为，，

代入椭圆：.

由，可得：，且.

由上又有：，，

∴.

∵点到直线的距离为：，

∴.

令， 且.

，

整理得：

当时，取得最大值，

此时直线的方程.