Question

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P₀（x₀，y₀），满足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）图象上以P₀为切点的切线与直线P₁P₂平等；
（III）当a=

3

2

时，设正项数列{a_n}满足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若数列{a_2n}是递减数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；
（II）直线P₁P₂的斜率k由P₁，P₂两点坐标可表示为 k=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

=a+

lnx2-lnx1

x2-x1

；由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号；可得 -

x2

x1

+ln

x2

x1

＜-1，整理可得

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，同理，由 -

x1

x2

+ln

x1

x2

＜-1，得

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x2

；所以P₁P₂的斜率 k∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，在x∈（x₁，x₂）上，有 f′(x)=a+

1

x

∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=-1+

1

x

=

-x +1

x

．
对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，
对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．
∴f_max（x）=f（1）=-1；
（II）直线P₁P₂的斜率为 k=

ax2+lnx2-ax1-lnx1

x2-x1

=a+

lnx2-lnx1

x2-x1

；
由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号，
∴-

x2

x1

+ln

x2

x1

＜-1?ln

x2

x1

＜

x2

x1

-1?lnx2-lnx1＜

x2-x1

x1

?

lnx2-lnx1

x2-x1

＜

1

x1

，
同理，由 -

x1

x2

+ln

x1

x2

＜-1，可得

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x2

；
故P₁P₂的斜率 k∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
又在x∈（x₁，x₂）上，f′(x)=a+

1

x

∈(a+

1

x2

，a+

1

x1

)，
所以f（x）图象上存在点P₀（x₀，y₀），满足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）图象上以P₀为切点的切线与直线P₁P₂平行；
（III）f（x）=

3

2

x+lnx，f′（x）=

3

2

+

1

x

，∴a_n+1=

3

2

+

1

an

，
a₃=

3

2

+

1

a2

，a₄=

3

2

+

1

a3

=

3

2

+

1

3 2 + 1 a2

=

13a2+6

2(3a2+2)

＜a₂?2a₂²-3a₂-2＞0，
?（2a₂+1）（a₂-1）＞0?a₂＞2?

3

2

+

1

a1

＞2?0＜a₁＜2，
下面我们证明：当0＜a₁＜2时，a_2n+2＜a_2n，且a_2n＞2（n∈N₊）
事实上，当n=1时，0＜a₁＜2?a₂=

3

2

+

1

a1

＞2，
a₄-a₂=

13a2+6

2(3a2+2)

-a2=-

3(2a2+1)(a2-2)

2(3a2+2)

＜0?a₄＜a₂，结论成立．
若当n=k时结论成立，即a_2k+2＜a_2k，且a_2k＞2，则
a_2k+2=

3

2

+

1

a2k

＞2?a_2k+4=

3

2

+

1

a2k+2

＞2，
a_2k+4-a_2k+2=

13a2k+2+6

2(3a2k+2+2)

-a2k+2=-

3(2a2k+2+1)(a2k+2-2)

2(3a2k+2+2)

＜0
?a_2k+4＜a_2k+2，
由上述证明可知，a₁的取值范围是（0，2）．

点评：本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．