【题目】设函数.
(1)当时,函数
与
的图象有三个不同的交点,求实数
的范围;
(2)讨论的单调性.
【答案】(1);(2)当
时,函数
在
上单调递减,当
时,函数
在
上递减,在
上递增,在
上递减;当
时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减.
【解析】试题分析:本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值与零点个数以及分类讨论思想的应用;(1)作差,分离参数构造函数,通过导数研究函数的极值,再通过函数的图象进行求解;(2)求导,确定导函数的两个零点,讨论两零点的大小进行求解.
试题解析:(1)当时,
,
故,令
,
则,
故当时,
;当
时,
;当
时,
;
,
,故
.
(2)因为,所以
.
当时,
恒成立,故函数
在
上单调递减;
当时,
时,
,
时,
,当
时,
,
故函数在
上递减,在
上递增,在
上递减;当
时,
时,
,
时,
,当
时,
;
故函数在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,函数在
上单调递减,当
时,函数在
上递减,在
上递增,在
上递减;当
时,函数在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,以
为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,和面内一点
,过点
任作直线
与椭圆
相交于
两点,设直线
的斜率分别为
,若
,试求
满足的关系式.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线:
(
)与椭圆
:
相交所得的弦长为
.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)设,
是
上异于原点
的两个不同点,直线
和
的倾斜角分别为
和
,当
,
变化且
为定值
(
)时,证明:直线
恒过定点,并求出该定点的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f (x)=lg(ax2+2x+1) .
(1)若函数f (x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数f (x)的值域为R,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆,过椭圆
右顶点和上顶点的直线
与圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
的上顶点,过点
分别作直线
交椭圆
于
两点,设这两条直线的斜率分别为
,且
,证明:直线
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人,这5人站成一排留影。
(1)求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种?
(2)求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?
(3)求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种 ?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是
,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系
中, 直线
经过点
,倾斜角
.
(1)写出曲线直角坐标方程和直线
的参数方程;
(2)设与曲线
相交于
两点, 求
的值.
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