Question

【题目】已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线恒过定点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设抛物线与椭圆交于，两点，由对称性得，代入得的值；（Ⅱ）欲求证直线恒过定点，可先根据条件求出带参数的直线的方程，再结合为定值即可证得．

试题解析：（Ⅰ）设抛物线与椭圆交于，两点．

由椭圆的对称性可知，，，

将点代入抛物线中，得，

再将点代入椭圆中，得，解得．

故抛物线的标准方程为．

（Ⅱ）设点，，

由题意得（否则，不满足），且，，

设直线，的方程分别为，，

联立，解得，，联立，解得，；

则由两点式得，直线的方程为．

化简得．①

因为，由，得，得，②

将②代入①，化简得，得．

得，

得，

得，

即．

令，不管取何值，都有．

所以直线恒过定点．