Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD＝1，PA＝PC＝.

（1）求证：PD⊥平面ABCD；

（2）求证：平面PAC⊥平面PBD；

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得PD⊥AC，又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，由线面垂直的判定定理得到AC⊥平面PBD，进一步利用面面垂直的判断证明；

试题解析：（1）∵PD＝1，DC＝1，PC＝，

∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．

同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD．

（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PDB．

同时，AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．