Question

4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB=BD=CD，点P在棱AC上运行，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 利用异面直线之间的距离，求出三角形的面积，即可推出函数的图象．

解答 解：AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，设AB=BD=CD=a，
过P作PO⊥BC 于O，作ON⊥BD 于N，连接PN，
则PN⊥BD，AC=$\sqrt{3}a$，
设CP的长度为x，$\frac{PO}{AB}=\frac{PC}{AC}$，
PO=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，$\frac{PO}{AB}=\frac{OC}{BC}$，OC=$\frac{\sqrt{2}ax}{\sqrt{3}a-x}$，
ON=a-$\frac{ax}{\sqrt{3}a-x}$．
PN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}+（a-\frac{ax}{\sqrt{3}a-x}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+{a}^{2}（\frac{\sqrt{3}a-2x}{\sqrt{3}a-x}）^{2}}$．
△PBD的面积为f（x）=$\frac{1}{2}a•PN$=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+{a}^{2}（\frac{\sqrt{3}a-2x}{\sqrt{3}a-x}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{\frac{1}{3}{x}^{2}+{a}^{2}（1-\frac{x}{\sqrt{3}a-x}）^{2}}$．
x$∈[0，\sqrt{3}a]$．
PN由a逐渐减小（由函数的解析式可知函数的图象不是直线变化）然后逐渐增大到a，
函数的图象为：A．
故选：A．

点评 本题考查函数的图象的判断，函数的解析式的求法，考查分析问题解决问题的能力．