Question

17．已知△ABC是正三角形，O是△ABC的中心，D和E分别是边AB和AC的中点，若$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OE}$，则x+y=4．

Answer 1

分析 根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则，即可求出

解答 解：∵O是△ABC的中心，D和E分别是边AB和AC的中点，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0
∴$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$，
同理可得$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OC}$，
∴2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OE}$-（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OE}$-（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$）=2$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{OE}$，
∴x=y=2，
∴x+y=4，
故答案为：4．

点评 考查三角形重心的概念及性质，等边三角形的概念，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，属于中档题