Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知它的公差不等于零，S₃=a₂²，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_na_n+1，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式及等比数列性质，求出首项和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=a_na_n+1=（2n-1）（2n+1），得

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由S₃=a₂²，得3a₂=a₂²，解得a₂=0或a₂=3，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，∴S22=S1S4，
∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d)，
化简，得d（d-2a₁）=0，
∵d≠0，∴d=2a₁，
由

d=2a1 a1+d=3

，得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=a_na_n+1=（2n-1）（2n+1），
∴

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．