Question

已知等差数列{a_n}的公差不为0，前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）另b_n=2ⁿa_n，求b₁+b₂+…+b_n；
（3）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N⁺恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式及等比数列性质，求出首项和公差，由此能求出a_n=n+1．
（2）由b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1），利用错位相减法能求出b₁+b₂+…+b_n=n•2ⁿ．
（3）由

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项求和法能求出λ的最小值．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差不为0，
前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1，或d=0（舍），
∴a₁=2，∴a_n=n+1．
（2）∵b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1），
记S_n=b₁+b₂+…+b_n，
则Sn=2×2+22×3+23×4+…+2n(n+1)，①
2Sn=22×2+23×3+…+2n+1×(n+1)，②
①-②，得：-S_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-2ⁿ⁺¹•（n+1）
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-2ⁿ⁺¹•（n+1），
∴Sn=n•2n
∴b₁+b₂+…+b_n=n•2ⁿ．
（3）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵T_n≤λa_n+1，∴λ≥

n

2(n+2)2

，
又 

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

16

，
∴λ的最小值为

1

16

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．