Question

已知函数f（x）=ax+blnx．
（1）当x=2时f（x）取得极小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）当b=-1时，若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数可得：f'（x）=a+
∵当x=2时，f（x）取得极小值2-2ln2，
∴f'（2）=0，f（2）=2-2ln2
∴2a+b=0，2a+bln2=2-2ln2
∴a=1，b=-2
此时f'（x）=1-
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0
∴当x=2时，f（x）取得极小值
∴a=1，b=-2
（2）b=-1时，f（x）=ax-lnx，求导函数可得f'（x）=a-=
若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，则f（x）=ax-lnx在区间（0，e]上的最小值＜0
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在区间（0，e]上递减
由f（x）_min=f（e）=ae-1＜0得a＜，∴a≤0符合题意
②当0＜＜e，即a＞时，x∈（0，），f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（，e），f'（x）＞0，f（x）递增
∴f（x）_min=f（）=1-ln=1+lna
由lna+1＜0得a＜，矛盾
③当≥e，即0＜a≤时，f（x）在（0，e]上为减函数，f（x）_min=f（e）=ae-1＜0
∴0＜a＜
综上所述，符合条件的a的取值范围是a＜．
分析：（1）求导函数，利用当x=2时，f（x）取得极小值2-2ln2，建立方程，即可求得a，b的值；
（2）b=-1时，f（x）=ax-lnx，求导函数可得f'（x）=a-=，若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，则f（x）=ax-lnx在区间（0，e]上的最小值＜0，分类讨论：①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在区间（0，e]上递减，符合题意；②当0＜＜e，即a＞时，f（x）_min=f（）=1-ln=1+lna，可得不成立；③当≥e，即0＜a≤时，f（x）在（0，e]上为减函数，由此可得a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确求导，合理分类．